Álgebra ~: septiembre 2011

Ecuación exponencial ~

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la variable a despejar se encuentra en un exponente. Es decir, un número (u otra variable) está elevada a la variable a despejar, comúnmente llamada x. Para resolver dichas ecuaciones se recurren a las propiedades de la potenciación, radicación y logaritmación.
Veamos algunos ejemplos de ecuaciones exponenciales, que vamos a resolver más adelante:

$2^{x + 1} = 16\,$

$2 \cdot 7^{x + 2} + 7^x = 33957\,$

$4^{x + 1} \cdot 8^x = 4096\,$

$\sqrt[3x + 1]{2^{x + 2}} = 8\,$

COMO RESOLVER UNA ECUACION EXPONENCIAL

Por simple inspeccion, es decir se descompone la parte numerica en sus factores primos.

Aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad.

Realizar correctamente las operaciones indicadas.

Comprobar resultado

Ecuación logarítimica ~

Una ecuación es Logarítmica cuando la incógnita está afectada por la logaritmación.

Para resolver ciertas ecuaciones logarítmicas se debe aplicar la definición de dicha operación. Luego de obtenidos los valores, se deben verificar, descartando aquellos que no cumplan con las condiciones de la logaritmación

Log ₂(x-1) = -1

x-1 = 2^-1

^{x= ½ + 1}

^{x= 3/2}

En algunas ecuaciones logarítmicas se deben aplicar las propiedades de la logaritmación para hallar la solución

Log ₃(x+4)+Log₃(x-4)=2 2Log₂x²-2Log₃(-x)=4

Log ₃^[(x+4)(x-4)^] = 2 Log₂(x²)²-Log₂(-x)²=4

Log ₃(x²-16) = 2 Log ₂x^{4 -} Log ₂x²= 4

x²-16 = 3²Log ₂(x⁴/x²⁾⁼⁴

x² = 9 + 16 x² = 2⁴

x² = 25x² = 16

x = ± 5 x = ± 4

En la primer ecuación, solo se verifica la solución positiva: x=5, mientras que en la segunda solo la negativa: x=-4

En otras ecuaciones logarítmicas es necesario realizar un cambio de variable.

(Log ₂x)²-5Log₂x+4=0 Cambio de variable:

z = Log₂x

Nueva ecuación a resolver: z²-5z+4=0, de la cual resulta z₁=4 y z₂=1. Utilizando el cambio de variable, tenemos las siguientes ecuaciones: Log₂x = 4 y Log₂x=1, de las que obtenemos, aplicando la definición de logaritmos: x₁=16 y x₂=2.

Ecuación cuadrática ~

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax²+ bx + c, donde a, b, y c son números reales.

Ejemplo:

9x² + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10

3x² - 9x a = 3, b = -9, c = 0

-6x² + 10 a = -6, b = 0, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática

Factorización Simple:

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.

Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8

(x ) (x ) = 0 [x ·x = x²]

( x + ) (x - ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2

4 · -2 = -8

x + 4 = 0 x – 2 = 0

x + 4 = 0      x – 2 = 0
x = 0 – 4      x = 0 + 2
x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.

Completando el Cuadrado:

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

4x² + 12x – 8 = 0
4 4 4 4

x² + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Ejemplo:

x² + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]
x² + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]

x² + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x² + 2x + 1 = 8 + 1

x² + 2x + 1 = 9

( ) ( ) = 9 Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)² = 9
(x + 1) = ±

x + 1 = ± 3

x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3 x = -1 – 3
x = 2 x = -4

Fórmula Cuadrática:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

Ejemplo:

X² + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6
          2
X = -2 + 6     x = -2 - 6
           2                  2

   x = 4          x = -8
        2                  2
x = 2      x = - 4

Función Exponencial ~

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.... Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

$E(x)=K \cdot a^x$

siendo $a, K \in \mathbb{R}$ números reales, $a\geq 0$ . Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

PROPIEDADES:
La función exponencial (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.

Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

$\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)$

$\exp(x-y) = \exp(x) / \exp(y) \,$

$\exp(-x) = {1 \over \exp(x)}$

$\exp(0) = 1 \,$

su límite en - ∞ es 0, y en + ∞ es + ∞

Función logarítmica ~

Funciones logarítmicas

Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x donde la base a es un número real y positivo pero distinto de 1, puesto que el resultado sería 0.
Entonces se dan dos casos:

Base mayor que la unidad (a > 1)

Comparación: Las 3 funciones (log 2 x, log 5 x, log 7 x) se unen en el punto (1,0) porque el log a 1 = 0, y el log a a = 1, con lo que coincide que la gráfica pasa por (1,0) y (a,1).
En la función logarítmica (cuando a > 1) cuanto mayor es la base del logaritmo, más cerca del eje X está.
Las funciones de la forma y = log a x cuando la base es mayor que la unidad (a > 1) tienen las siguientes características:
(tomando como ejemplo la función f (x) = log 5 x)
-Dominio: el dominio de la función son los reales positivos puesto que no existe el logaritmo de un número negativo. Dom (f) = R +
Función logarítmica

En este tramo la función es negativa porque al introducir la antiimagen de un número racional la imagen que da, es un número negativo, lo que no quiere decir que existan imágenes para números negativos en esta función, ya que es imposible. log -x "
-Recorrido: el recorrido de la función es toda la recta real
ya que se ve como la función llega de -" y continua hacia + ".
-Continuas y crecientes: la función es creciente en todo su dominio porque...
...x < x' ! f(x) " f(x'), y continua porque todos sus puntos tienen imagen, tienen límite, y el límite de un punto coincide con la imagen del punto.
-Simetría: la función no es ni simétrica impar (por no ser simétrica respecto del origen) ni tampoco par (por no ser simétrica respecto del eje de coordenadas
Función logarítmica

no es simétrica respecto del origen
no es simétrica respecto del eje de ordenadas
-Asintotas: Partiendo del Dominio de la función ( Dom(f) = R+ ),
Función logarítmica

no se ven números concretos candidatos a asíntota por lo que viendo la gráfica deducimos que
x = 0, es una asíntota vertical y al probarlo comprobamos que es cierto.
lim log 5 x = - "
x ! 0 +
lim log 5 x = + "
x ! 0 -
No tiene asíntotas horizontales porque el limite cuando la función tiende a infinito no es un número concreto, (a simple vista se aprecia) al igual que no tiene asíntotas oblicuas.

Base positiva y menor que la unidad (0 < a < 1)

Comparación: Las tres funciones (log 1/7 x, log 1/5 x, log ½) pasan por el punto (1,0) al igual que en el otro tipo de función logarítmica ya que el log a 1 = 0, y también pasa por el punto (a,1) porque el log a a = 1.
En la función logarítmica (cuando 0 < a < 1) cuanto mayor es el denominador de la base de logaritmo más se cerca del eje X está.
Las funciones de la forma y = log a x cuando la base es menor que la unidad (0 < a < 1) tienen las siguientes características:
(tomando como ejemplo la función f (x) = log 1/5 x)
-Dominio: el dominio de la función son los reales positivos puesto que no existe el logaritmo de un número negativo Dom (f) = R +
Función logarítmica

-Continua y decreciente: la función es decreciente en todo su dominio porque…
x x'
f(x) f(x')
… x < x' ! f(x) " f(x'), y continua porque todos sus puntos tienen imagen, tienen límite, y el límite de un punto coincide con la imagen del punto.
-Simetría: la función no es ni simétrica impar (por no ser simétrica respecto del origen) ni tampoco par (por no ser simétrica respecto del eje de coordenadas.
Función logarítmica

no es simétrica respecto del origen
no es simétrica respecto del eje de ordenadas
-Asíntotas: Partiendo del Dominio de la función ( Dom(f) = R+ ),
Función logarítmica

no se ven números concretos candidatos a asíntota por lo que viendo la gráfica deducimos que
x = 0, es una asíntota vertical y al probarlo comprobamos que es cierto.
lim log 5 x = + "
x ! 0 +
lim log 5 x = - " x ! 0 -
No tiene asíntotas horizontales porque el limite cuando la función tiende a infinito no es un número concreto, (a simple vista se aprecia) al igual que no tiene asíntotas oblicuas.

Función cudratica!

Función Cuadrática ~

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica de grado dos definida como: